“宁远伯如此有信心吗？”朱翊钧看向了王国光问道：“今年可有欠饷？”
“回禀陛下，并没有欠饷。”王国光红光满面的说道，户部给大明朝官们买丝绸做官服，这是建立在把欠饷都补了之后才做的，三年了，整整三年了，这三年王国光这个户部尚书为了填之前的窟窿，百般周转，今天，终于能堂堂正正的告诉陛下，没有欠饷。
李成梁的信心也来源于此，全饷的大明军，土蛮、建奴，拿什么跟大明军斗！
朱翊钧听闻，满是笑意的说道：“没有就好，自永乐以来，征战恩赏皆出内帑，就给宁远伯下旨吧，打得好重重有赏，打得不好，必然会被责罚。”
廷议结束后，朱翊钧没有直接开始讲筵，而是带着张居正来到了偏殿，偏殿厚重的帷幕拉开了半扇，小皇帝看着站在一台奇怪的乐器旁的人，笑着说道：“皇叔。”
“参见陛下，陛下圣躬安否？”朱载堉赶忙行礼，而旁边的徒弟王夭灼跪在地上行的五拜三叩首的大礼。
王夭灼认为是皇帝为她们家伸张了正义，洗刷了冤屈，所以才如此叩拜，陕州卢氏的恶性是自作孽，地方左参议都忍不了，即便是没有王夭灼，也要被处置。
朱翊钧让王夭灼不用每次都这么一顿猛磕，但王夭灼坚决要行大礼。
“皇叔这个是什么乐器呢？”朱翊钧围绕着这台奇怪的乐器，疑惑的问道。
朱载堉看着面前的乐器，信心十足的说道：“陛下，十二律八相生，七音隔五相生，每均有七调，十二均得八十四调。”
“皇叔能否不讲乐理，朕不懂。”朱翊钧笑着问道：“所以，到底是个什么东西呢？”
朱载堉其实很想说，不懂可以学，但是陛下对乐理厌学，他只好郑重的回答道：“就是个乐器！”
“臣最开始用琴弦，发现琴弦八十四调，着实是有些难弹，太宽了，容易误触，臣就做了这件金属弦音板，旋宫转调，这个琴键里，有一个铜制的形槌击弦发音，它有八十八个琴键，若是再转调，可以到一百零八键。”
朱载堉打开了两侧琴盖，展示着他的发明。
朱翊钧稍微研究了下，发现这玩意儿就是钢琴，但是它四四方方，盖板没打开的时候，还真不好分辨。
长大约五尺二寸，宽约四尺五寸，外壳采用了杉木，通体刷桐油没有任何一点的瑕疵，而里面是兵仗局出品，皇家御用，朱翊钧不懂乐理，也不知道这玩意儿肚子里面到底是什么。
“皇叔，开始你的表演吧。”朱翊钧也不废话，让朱载堉弹一段再说。
朱载堉让王夭灼开始，王夭灼穷苦出身，音乐这种艺术，王夭灼真的没接触过，但是跟着朱载堉学习将近一年，能弹出曲目来就算成功。
朱载堉是为了告诉小皇帝，只要肯学，就一定能学得会。
王夭灼显然是不太熟练，磕磕绊绊的弹了一段之后，朱载堉才坐到了钢琴面前，行云流水的开始弹奏。
朱翊钧实在是没那个音乐细胞，对于朱载堉的弹奏，他就只有两个字。
“好听。”朱翊钧看着张居正说道：“先生懂乐理吗？”
“回禀陛下，臣不懂，也只能听出个好听来。”张居正出身是军户，音乐这玩意儿，让他敲战鼓，他还能敲出个一二三来，让他品鉴音乐，那完全是品鉴不出来，好听是真的好听，音色也真的是全。
“那先生要不要学一学？”朱翊钧看着张居正问道。
“臣有公事在身，这个，臣就不学了吧。”张居正斟酌了一番，表示了他对音乐的厌学。
先生不会，朱翊钧就可以堂而皇之的说，先生都不会也不学，那就对治国没什么用，那就不学了。
“皇叔要是缺钱就说话。”朱翊钧不懂音乐，但是他对朱载堉的音乐事业还是大力支持的，基本而言，就是无上限。
朱载堉玩音乐还真的花不了多少钱，因为他的乐器，都是兵仗局产的，他的学徒，都是跟着他学算学，朱载堉回京以来，满打满算花了不到三千两银子。
“臣遵旨。”朱载堉无奈了，他已经展示了这世间仅有的音乐，可是陛下对乐理，仍然不感兴趣。
简直是对牛弹琴！
“朕给皇叔送去了先天太极图和五行太极图，皇叔，为什么两个曲线几近于重合，却不重合呢？”朱翊钧询问着答案。
朱载堉非常老实的回答道：“臣诚不知。”
他倒是看懂了那几张图，也不知道是凑巧，还是有什么天地无穷之理在其中，但他不知道，更没有什么猜测了。
“好吧。”朱翊钧笑着说道：“不急，慢慢研究就是。”
“皇叔今天讲算学吗？如果不讲，朕和先生去讲筵去了。”朱翊钧站起身来，打算离开，朱载堉今天就是来进献贺礼，让皇帝陛下也知道，他不是回京吃干饭的，真的有在干活，陛下的投资不是没有回报的。
“陛下，臣还真的有个算学要讲。”朱载堉赶忙说道。
朱翊钧兴趣陡增的说道：“哦？是什么？”
“祖冲之算圆周率。”朱载堉俯首说道。
朱翊钧连连点头说道：“朕很有兴趣，非常有兴趣，快快讲来。”
祖冲之明明算出了圆周率后七位数，后世仍然以周三径一，朱翊钧对祖冲之算圆周率的方法非常感兴趣。
画个圆，然后用线测量下它的长度，周长除以直径，不就得到了圆周率吗？
这样的测量存在着误差，绝对不可能算出圆周率后七位，要是数学家都这么算，那就不是数学家了。
“陛下，算筹开方是一件很方便的事儿，并没有想象的那么困难，只有那些个什么都不懂的蠢货，才会说，祖冲之用算筹算到小数点后七位，是不可能的！”朱载堉首先纠正了一个普遍的认知错误，那就是算筹不方便。
其实算筹就像是简易的算盘，朱载堉没有自己实践，而是让王夭灼来演示算筹开一个整数平方，一个个的小木棍，一个个的小方盒，她只用了一刻钟的时间，就把7的开二次方算到了小数点后七位。
“算盘的话，算的更快。”朱载堉颇为恳切的说道。
“要讲祖冲之算圆周率，也就是圆的密率，我们就要用到割圆术。”朱载堉让徒弟演示了算筹开方之后，准备讲解割圆术，朱翊钧听的十分认真，朱载堉讲的非常透彻。
其实就是圆的内接正多边形的无限逼近，正多边形的边数越多，周长和面积就越接近于圆的周长和面积。
这个问题就转化为了如何求正多边形的周长或者面积，朱翊钧能够听得明白，一个半径为一的内接正六边形边长为六，圆周率或者说圆的密率，就是三，这也就是一直在用的周三径一。
后面的内容，张宏和冯保就完全听不懂了。
“你会吗？”张宏低声问道，他有些担心，冯保要是能听懂，他这辈子也别想着老祖宗的位置了。
冯保老老实实的说道：“不会，就跟听天书一样，陛下和元辅都能听得明白，你看，他们偶尔还还会和世子殿下讨论一番，什么内接外接的，根本不懂。”
陛下会问的，不懂装懂是要挨骂的。
“祖冲之是南北朝的人，距今已经有一千多年了吧。”朱翊钧听完了朱载堉讲解割圆术以及祖冲之的算法，极为感慨的说道。
张居正掐算了一番说道：“祖冲之离世，距今已经有一千零七十五年了。”
割圆术，有着浓烈的微分思想，当然不是画一个正正12288边形硬算，而是利用十二觚之幂率继续推导下去，只需要算到正384边形，祖冲之一共迭代了11次，进行了22次的开方计算。
说到这里，朱载堉也没有停下，接着说道：“那么接下来，便是祖冲之和他的儿子祖暅之，推导圆锥、球体积了。”
祖冲之算圆周率，和他儿子推导圆锥和球体积公式，是一千五百多年的事儿了。抱歉今天有点晚，但是仍然如期更新了，求月票，嗷呜！！！！！！！
第一百四十八章 缘幂势既同，则积不容异
“缘幂势既同，则积不容异。”朱载堉将一句话拿了出来，面色凝重的说道：“要理解这句话的意思，是非常困难的。”
这句话的意思是，等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等。
朱载堉拿出了两个立方体，第一个是正立方体，一个是球，这个正立方体的边长是球的直径，他将两个小球递给了张宏给陛下查验后，才开口说道：“这是从一个错误开始的。”
“九章算术中说：黄金方寸重十六两，金丸径寸重九两，率生于此，未曾验也。就是说边长为一寸的金属球重为十六两，而直径为一寸的球体，为九两。”
“进而我们得到了一个球体公式，也就是V=9/16d。”
“这个公式自从周朝就开始用了，《周官·考工记》：朅氏为量，改煎金锡则不耗，不耗然后权之，权之然后准之，准之然后量之。”
朱翊钧听闻之后，疑惑的问道：“用实际测量的方法算出的球体公式，误差有多少呢？”
张居正拿过了算盘噼里啪啦的打了下，解答道：“9/16-π/6≈0.038901，显而易见，差别不是很大，但是算学就是如此，不对就是不对。”
朱载堉继续说道：“是以九与十六之率，偶与实相近，而丸犹伤耳，按9/16的比率，来计算球和外切立方体体积时，则球的体积较实际多一些，多多少？多0.038倍左右。”
“我们之前在割圆的时候就讲到过，割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”
“就是说，点构成了线，线构成了面，这也是面积口诀得到的基本原理。”
“我们知道一个圆的面积等于外切正方形面积的π/4，1300年前，刘徽思索能不能找到一个立方体，让这个立方体不管从哪里去切，它的横截面，都是一个圆和外切正方形呢？”
“刘徽设计了一个这样的立方体，名字叫牟合方盖，牟相同，合盖上，方，就是说这个立方体的每一个面的横截面都是正方形，盖雨伞，它的形状是两个方形的雨伞，扣在一起，正好和球完全相切。”
“刘徽将两个底面半径相同的圆柱体相交，然后将公共部分截取出来，得到了这个立方体。”
“这个时候，只要求出这个立方体的体积，乘以π/4，就得到了球的体积。”
“可惜，刘徽始终无法求出这个立方体的体积，说：陋形措意，惧失正理。敢不阙疑，以俟能言者，期许后人的智慧了。”
朱翊钧拿到了牟合方盖，这是朱载堉做的教具，得益于大明工匠们的巧手，将两个圆柱相交部分截出来的牟合方盖，这玩意的体积的确不好求，它不规则。
朱载堉才继续说道：“1000多年前，祖冲之的儿子祖暅解决了这个问题。”
“它将牟合方盖切成了八个小牟合方盖，然后截开，利用勾股定理等计算，将小牟合方盖减掉1/8球的体积，转化为了一个方锥的体积，得到方锥体积，就能得到小牟合方盖的体积为2r/3，大牟合方盖的体积为16r/3，球的体积等于4πr/3，解决了这个问题。”
“等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，祖暅用这个方法，解决了圆锥体积公式，陛下这个很难理解。”
朱翊钧则是笑着说道：“缘幂势既同，则积不容异，不是很难理解。”
小皇帝稍微思考了下，拿出了铅笔，稍微画了两下，让张宏下去准备，没一会儿张宏拿过来了一个圆柱体，和一堆的银币。
“这是泰西来的银币，这是和银币底面半径相等的圆柱体。”朱翊钧将银币随意摞了起来，笑着说道：“它们体积相等，求圆柱体体积就是求银币的体积之和。”
张居正和朱载堉互相看了一眼，再看着摞在一起的银币和圆柱体，只能说，数学这件事上，似乎从来没有难住过陛下，陛下总是能够精准的理解这些内容。
朱载堉在讲什么？讲的是积分，无穷求和。
微分，是无穷切割，积分就是无穷求和，微分和积分互逆运算，就是微积分。
大明在数学领域，完全有资格进行考古式科研，能把一千多年前的数学原理捣鼓明白，大明的算学就已经，完完全全站在了世界的顶端。
“皇叔，是这样吗？”朱翊钧笑着说道。
朱载堉俯首说道：“是这样的，陛下英明。”
“难道仅仅这样吗？不能更进一步吗？”朱翊钧接着说道。
更进一步？朱载堉陷入了一些迷茫之中，还如何再进一步呢？他缺少一个数学工具才能再进一步。
“慢慢来就是了。”朱翊钧站起来，笑着说道：“皇叔钻研有方，重重有赏！”
考古式科研，不是什么不可以接受的事儿，无穷求和的概念，能够解决许多的现实问题，比如如火如荼的清丈，测量不规则图形面积的问题，就可以用到这种思想。
将一个不规则的图形，切割成以步为宽的小矩形，在步的左侧建立一个小矩形，在步的右侧建立一个小的矩形，步左和步右的矩形面积之和除以二，得到不规则田亩的面积，这个方法，在实际清丈中，运用的炉火纯青。
“陛下，程大位有丈量步车献上。”朱载堉其实对恩赏并不是很看重，他对这些身外之物，向来不怎么在意，要不然也不能在王府外的土房子里，一住就是十几年了。
朱载堉更加在乎，自己的志向能够达成，而且正在一步步的达成，陛下对他的科研工作的支持，就三个字，无上限，要什么给什么。
“丈量步车？”朱翊钧本来以为今天的算学已经结束，没想到还有大货在等着他，他满是笑意的说道：“快快呈上来。”
程大位将一辆丈量步车推了上来，将一本书递给了张宏。
这本书上是关于丈量步车的详细记录，完整的零件图、总装图、设计说明和改型说明，这是精确记录，度数旁通的成果，也就是说，只需要将这本书发下去，大明各地就可以利用这本书里的设计，大量制造丈量步车，测量大明田亩数量。
这东西说复杂看起来的确复杂，木制的外套、十字架，竹制的篾尺，铁制的转心、钻脚和环等部件组成，但其实就是后世用的卷尺。
程大位介绍着自己的丈量步车说道：“古者量田较阔长，全凭绳尺以牵量，所需人力极多，而且差错极大，不能精确。通过转动实现尺体的收放，蔑尺之上，逐寸写字，每寸为二厘；五寸为一分；五尺为一步，依次而增，至三十步以上或四十步以下可止，篾上用明油油之，字不易脱落，还容易清洗。”
五尺为步，步二百四十为亩，亩百为顷。
“好物，好物。”朱翊钧看着面前的卷尺，不住的点头说道：“先生，刊刻后送到南衙清丈使用可好？”
“臣遵旨。”张居正俯首说道。
卷尺的应用，将会大大的加快大明清丈，厘清天下田亩的具体数量，将已经近两百年未曾动过的鱼鳞册，好好核算清楚明白。
洪武二十六年，全国共核查出土地850万顷，大约有八亿五千万亩地，到了后来，这个鱼鳞册，图册已紊乱失实，在明孝宗弘治十五年后，全国登记在册的土地只有422万顷，一百零九年的时间里，减少了一半。
孝宗之后，422万顷这个严重失真的田亩数，一直是大明正赋的标准田册，而张居正要做的就是搞清楚天下田亩到底有多少，搞清楚天下田亩到底在谁的手里，田在谁手里，就问谁征税。
在原来的历史线里，张居正在万历九年将天下除河南的田亩全部清丈完毕，共计7013976顷，并且成为了后来的收税底册，这也是万历皇帝能够胡作非为的底气。