也是到了今天，真正上了赵海洲的竞赛正课后，陈言才终于反应过来。
难怪这老赵老是给他建议去学几何的内容，敢情这才是他的老本行？
讲台上，赵海洲正按照流程，在课上的前15分钟，进行知识点回顾，以及错题共性问题的梳理。
没来由地，他就朝陈言那里看了一眼。
当看到陈言眼神有些玩味的时候，他立马就收回了目光。
轻咳一声后，才继续讲起竞赛中一些几何问题存在的共性。
陈言见状，低声笑了笑，拿过草稿纸，翻起了自己的书。
说起来，他其实得感谢一下赵海洲。
如果不是赵海洲一直提几何，他也不会取下《线性代数与空间解析几何》这本书。
自然也就不可能有后面的想法，让他真正尝试自己来构建闭环学习路径。
也就不会有现在草稿纸上的内容。
目光落在草稿纸上的陈言，没有着急往下推，而是用笔轻点着他今天新写的内容。
【只要在线性空间中选定一组基，几何对象就立即获得了代数表示：
位置向量V表示几何的点，
一维子空间span{V}表示直线，
二维子空间span{V1，V2}表示平面，
……
范数║V║表示长度，
内积<u，v>=0表示垂直/正交】
这其实就是直观的用线性代数表示几何的方式，也是解析几何的本质。
而这种表示方式，对代数和几何来说是等价对应的。
也就是赵海洲那天说的，用坐标和向量，将几何概念翻译成代数语言。
简单来讲就是，线性空间为几何提供代数语言，几何为线性空间提供直观模型。
虽然在摸过来之后，陈言算是初步理清了这种等价对应的关系。
但在刚开始，带着这种想法边学线性代数，边往这边摸的时候，他是真正犯了不少难的。
虽然现在回过头来看，线性空间公理体系为几何提供了一个完美的代数骨架。
但它本身是不包含几何内容的。
几何内容是通过额外结构嫁接到这套公理体系上的。
所以，陈言之所以花了这么长时间才摸过来，就是在打通这套额外结构。
而打通的前提，其实是他啃完了内积空间、赋范空间与高维线性空间的性质，推完了向量空间的完整闭环。
也就是完全搞定了第一个解锁条件，把节点3的闭环进度提升到82%后，才得到的结果。
想到这些，陈言用笔在草稿纸上又写下了“内积空间”，然后圈了一下。
这玩意就是线性空间公理体系这套骨架里装上几何内容后的样子。
也是现代数学处理几何的底层逻辑。
陈言随即收敛思绪，开始沿着摸索出来的这套结构，往下推去。
不知是不是自己的错觉，他感觉打通了两者的关系后，好像真变得一通百通了。
就像爬楼一样，前面在沿着台阶爬楼梯，而在到了顶楼后，开始坐电梯下去了。
解析几何的内容，就这样极为顺畅地被他推了下去。
甚至于，他在草稿纸上写那些关键点的速度，完全跟不上他现在的思维。
陈言索性空拿着笔，身子微微往后，闭上眼睛靠在了椅子上。
笔只会延缓他的思维，还不如在脑海里直接推。
讲台上，正在讲二试几何典型例题的赵海洲，看到这一幕后，原本极快的语速忽地卡了一下。
虽然他立马就恢复了正常，但目光却是一直游离在陈言身上。
见陈言一直闭着眼睛，他不由得想到，这小子难道是睡着了？
不过，他并没有去喊陈言的打算，而是接着讲起了例题。
只是原本快速讲题的语速，不自觉间放缓了一些。
赵海洲的变化虽小，但对于底下一直专注听讲的学生来说，却是立马就注意到了。
不少学生在赵海洲回头板书的时候，都扭头朝他先前看的方向瞟了一眼。
当看到后排闭着眼睛靠在椅子上的陈言时，他们的第一反应是惊讶。
第一想法是学长完了，敢这么明目张胆的在课上睡觉，老赵可不是吃素的。
但在他们为陈言担心了两分钟，五分钟，乃至十分钟后。
他们却发现，赵海洲就好像完全没看到一样。
眼里完全没有陈言这个人，不对，是眼里完全没有睡觉的陈言。
他们不由得面面相觑。
尤其是齐坤宇，他看赵海洲的眼神都变了一些。
不是，老赵，这么区别对待的吗？
我当时只是课上打瞌睡，你可就让我去教室后面站了一整节课啊？
到底学长是你的学生，还是我们是啊？
对此毫不知情的陈言，就这么闭着眼睛上完了一整节竞赛正课。
期间无论是赵海洲讲课的声音，还是学生起身提问和回答的声音，都自动从他耳畔过滤了出去。
他完全地陷入了自己的知识世界。
由他所溯源至底层逻辑的解析几何，在这一刻，飞快地构建着一整套的闭环学习路径。
然后路径上的每一个节点，又被他飞快地推了过去。
“叮铃铃……”
晚自习结束的铃声响起。
赵海洲合上讲义，说道：“好，今晚就到这，都回去吧，回家的同学，路上注意安全。”
话音未落，他就看到陈言已经飞快起身，将桌上的一应物品塞进了背包，第一个冲出了教室。
看着消失在门口的身影，赵海洲不由得微微一愣。
这小子是掐着点睡醒的吗？
睡了一节晚自习，也不知道打声招呼就跑！
随即他收回目光，拿起讲义，也离开了教室。
而他身后，一帮学生虽然在收拾各自的东西，但目光却始终在他身上。
当看到陈言离开教室，赵海洲都没有出声后。
他们的表情，也从期待到失望，几经变换。
至于跑出教室，快步朝家走的陈言，此时则是满脸的兴奋。
构建闭环学习路径的尝试，他完全走通了。
后面他就能尝试在化学、生物，乃至语文和英语身上了。
当然，令他兴奋地远不止这一点。
还有解析几何的反哺。
恰好作用到了线性代数和线性空间上。
准确点说是，几何方法正好能帮他解决节点3的第二个解锁条件。
所以，陈言才在铃声响起的瞬间，就赶快收拾东西回家。
他打算今晚就试着搞定节点3的闭环！
第27章 我也是数学老师
线性空间，还有它的衍生结构，绝对是现代数学最成功的抽象框架之一。
但和所有的数理工具一样，任何强大工具的背面，都刻着一个适用边界。
而线性空间的适用边界，就是加法的阿贝尔群结构，以及数乘的线性分配律。
这两个约束，在本质上就是集合V和数域F的绝对边界。
房间里，陈言将线性代数的几本书摊开放在一边。
开始攻坚节点3的第二个解锁条件，清晰界定线性空间的适用边界与非线性场景的局限性。
而他从几何方法中找到的解决方法，对应的正是非线性场景的局限性。
他并没有直接用这个方法，因为路要一步一步走，他得先解决线性空间的适用边界问题。
在清晰界定出线性空间公理体系的硬性边界后，陈言稍微停顿了一下，然后才再次拿笔在草稿纸上写了一句话。
【线性变换T(ax+by)=aT(x)+bT(y)，核心是叠加原理】
写完后，陈言的脑海里随即冒出一个问号。
如果叠加原理失效呢？
问号冒出的同时，答案也随之浮现。
那就是，一旦系统不满足叠加原理，整个线性变换的框架，就会宣告失效。
这也是第二个适用边界的问题。
有了答案后，陈言手中的笔便落在了草稿纸上。
在刚才那句话的下面，开始推导失效的场景，并界定适用边界。
随着水笔中墨汁的喷吐，这个问题的回答便落在了纸上。
完成了线性空间适用边界的界定后，顺其自然的，陈言便来到了非线性场景的局限性上。
这是一个从工具失效到概念瓦解的问题。
简单来说，就是线性代数赖以建立的概念体系，到了非线性场景时就没用了。
那就得分析有哪些非线性场景，然后应该怎么应对。
陈言的嘴角噙着一丝笑意，这个问题对他来说，或许要更简单一些。
带着思路和答案去解决问题，总是比一步步摸索要来得快的。